第9周作业
教材习题5：5、6
解答
第5题
设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有二阶连续导数．证明
\[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=(b-a)f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)+\dfrac{(b-a)^3}{24}f^{\prime\prime}(\xi), \quad \xi\in(a,b).\]
证明： 由泰勒展开，
\[f(x)=f(\dfrac{a+b}{2})+(x-\dfrac{a+b}{2})f'(\dfrac{a+b}{2})+\dfrac{1}{2}(x-\dfrac{a+b}{2})^2f^{\prime\prime}(\eta).\]其中 $\eta\in(a,b)$．两边在区间 $(a,b)$ 上积分，并用积分中值定理，即得结论．
第6题
设函数 $f(x)$ 在 $[-h,h]$ 上充分可导．试推导求积公式
\[\int_0^hf(x)\mathrm{d}x\approx\dfrac{h}{2}[3f(0)-f(-h)]\]的余项．
$f(x)$ 在 $x=0$ 和 $x=-h$ 处的插值多项式为
\[p(x)=f(0)\dfrac{x+h}{0+h} + f(-h)\dfrac{x-0}{-h-0} = \dfrac{1}{h}f(0)(x+h) - hf(-h)x.\]两边积分，得
\[\int_0^hf(x)\mathrm{d}x\approx \int_0^hp(x)\mathrm{d}x = \dfrac{h}{2}[3f(0)-f(-h)].\]由插值多项式误差公式，
\[f(x)-p(x)=\dfrac{1}{2}f^{\prime\prime}(\xi_x)\cdot x(x+h),\]两边积分，并用积分中值定理，得余项为
\[\int_0^h[f(x)-p(x)]\mathrm{d}x=f^{\prime\prime}(\xi)\cdot \dfrac{1}{2}\int_0^hx(x+h)\mathrm{d}x =\dfrac{5}{12}h^3f^{\prime\prime}(\xi).\]