第7周作业
习题三，第15、18、19（2）、23、24、29
解答
第15题
$[-1,1]$ 上的 $n$ 次 Chebyshev 插值多项式的结点由
\[z_j=\cos\dfrac{(2j+1)\pi}{2(n+1)}\]给出．而在区间 $[1,2]$ 上，需要先从 $[-1,1]$ 通过仿射坐标变换变成 $[1,2]$，得到
\[x_j=\dfrac{(b-a)z_j}{2}+\dfrac{b+a}{2},\]然后求出 $f(x)$ 在 $\lbrace x_j\rbrace$ 处的 Lagrange 插值多项式即可．答案：
$p_2(x)=-0.2320x^2+1.3823x-1.1459$
第18题
本题和第19(2)题都是求解讲义上的法方程组(3.4.5)．答案：
$p(x)=\dfrac{4}{15}+\dfrac{4}{5}x$
第19(2)题
答案：
$p_1(x)=20\ln 2-\dfrac{29}{2}+(9-12\ln 2)x$．
第23题
利用讲义的(3.4.12)和(3.4.13)式．确保计算无误！答案：
$1-\dfrac{\pi}{2}+\sum\limits_{j=1}^{\infty}\dfrac{2}{j^2\pi}((-1)^{j-1}+1)T_j(x)$．
第24题
利用讲义的法方程组，即(3.5.2)式求解即可．答案为
$y=-\dfrac{7}{10}+\dfrac{11}{10}x$．
第29题
设经过 $\lbrace(x_i,y_i)\rbrace_{i=1}^{m}$ 的 Lagrange 插值多项式为
\[p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{m-1}x^{m-1}\]则 $p(x)$ 的均方误差是
\[\mathcal{L}(a_0,a_1,\cdots,a_{m-1})=\dfrac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m(p(x_i)-y_i)^2=0.\]所以 $p(x)$ 也是最小二乘拟合函数．