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第4周作业
林成森《数值计算方法》第四章习题17、18、20、21、24、27、28(3)、32、36.
解答
第17题
用带余项的Lagrange插值公式，或者用(3.11)式．
第18题
用Newton均差的迭代定义式(3.5)进行归纳：
\[f[x,x_1,\cdots,x_n]=\dfrac{f[x_1,x_2,\cdots,x_n]-f[x,x_1,\cdots,x_{n-1}]}{x_n-x}.\]注意 $x_i$ 是 $f[x,x_1,\cdots,x_n]$ 的根．
第20题
134，2674，1，0．前两个直接列Newton差商表进行计算，后两个利用第17题．
第21题
重要习题！你懂的！记
\[f(x)=a\prod\limits_{j=1}^n(x-x_j),\]先写出$f’(x)$的表达式，取$x=x_i$，得到
\[f'(x_i)=a\prod\limits_{j\ne i}(x_i-x_j)\]发现它跟Lagrange插值多项式很像．接下来利用第8题或第17题的结论．
第24题
计算得
\[\begin{aligned} N_2(x)&=3-\dfrac{1}{4}x(x-1), \\ N_3(x)&=3-\dfrac{1}{4}x(x-1)-\dfrac{7}{6}x(x-1)(x-2). \end{aligned}\]第27题
用$\Delta^2$的定义，把求和的左边写成裂项形式，然后求和．
第28(3)题
注意
\[\begin{aligned} \Delta \sin k\alpha&=\sin(k+1)\alpha-\sin k\alpha \\ &=2\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos(\dfrac{\alpha}{2}+k\alpha), \end{aligned}\]这里欲证式子等号右边分母需补上一个2．
第32题
三次Newton前差和后差插值多项式分别是
\[\begin{aligned} N_3(x)&=N_3(0+s)=1+s+\dfrac{1}{2}s(s-1)+\dfrac{1}{6}s(s-1)(s-2), \\ N_3(x)&=N_3(3+t)=8+4t+t(t+1)+\dfrac{1}{6}t(t+1)(t+2). \end{aligned}\]这两个多项式是相同的（替换 $t=x-3$，$s=x-0$ 之后）
取 $s=0.25$，$t=-2.75$，都能算出 $N_3(0.25)=\dfrac{155}{128}$．
取 $s=2.5$，$t=-0.5$，都能算出 $N_3(2.5)=\dfrac{91}{16}$．
第36题
这是重点题！务必搞懂！
先假设
\[p(x)=f_1+f_1'(x-x_1)+C(x-x_1)^2,\]代入$x=x_2$得
\[C=\dfrac{f_2-f_1-f_1'(x_2-x_1)}{(x_2-x_1)^2}.\]这样就能构造出一个满足条件的不超过二次的多项式．
证明唯一性：仿照4.5节的“定理”，用 Rolle 定理来证明，最终就能导出余项表达式．
\[f(x)-p(x)=\dfrac{f^{(3)}(\xi)(x-x_1)^2(x-x_2)}{6}.\]【错解】 有同学没有仿照4.5节的“定理”的证明，直接就写
\[f(x)-p(x)=\dfrac{f^{(3)}(\xi)(x-x_1)^3}{6}\]这是不对的．更有同学得出一些奇怪的结果，可能是没有理解好构造
\[g(t)=f(t)-p(t)-K(t-x_1)^2(t-x_2)\]的步骤．
第4周答疑
补充习题（此部分思考题为助教友情提供，与上课无关，感兴趣可以做，不感兴趣可以不做）
1． 已知$f(x)$在区间$[0,2]$上具有三阶连续导数，设
\[g(x)=f(0)+(f(1)-f(0))x+\dfrac{f(2)-2f(1)+f(0)}{2}(x^2-x)\]证明：$\max\limits_{x\in[0,2]}\vert f(x)-g(x)\vert \le \dfrac{\sqrt{3}}{27}\max\limits_{x\in[0,2]}\vert f^{(3)}(x)\vert$．
2．【UC San Diego PhD Qualifying Exam, Sep 2007】
设 $k\ge 1$ 是整数，$p_k(x)$ 是插值点为$(x_0,y_0)$, $(x_1,y_1)$, $\cdots$, $(x_k,y_k)$的Lagrange插值多项式，$q_k(x)$ 是插值点为$(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $\cdots$, $(x_{k+1},y_{k+1})$的Lagrange插值多项式．定义
\[r_{k+1}(x)=\dfrac{(x-x_0)q_k(x)-(x-x_{k+1})p_k(x)}{x_{k+1}-x_0},\]证明：$r_{k+1}(x)$是插值点为$(x_0,y_0)$, $(x_1,y_1)$, $\cdots$, $(x_k,y_k)$, $(x_{k+1},y_{k+1})$的插值多项式．
3． 设$x_0 < x_1 < \cdots < x_n$，并且 $f$ 连续可微，证明：
\[\dfrac{\partial}{\partial x_i}f[x_0,x_1,\cdots,x_n] = f[x_0,x_1,\cdots,x_{i-1},x_i,x_i,x_{i+1},\cdots,x_n].\]
4． 本题是 Hermite 插值多项式的有关补充内容——插值零的定义及性质．
Definition
定义： 若对于在基点 $x_0$, $x_1$, $\cdots$, $x_n$ 中重复出现 $k$ 次或更多次的每一点 $\xi$，都有 $f^{(k-1)}(\xi)=0$，则称 $f$ 在点 $x_0$, $x_1$, $\cdots$, $x_n$ 上 插值零．
例如，我们称$f$在点1, 3, 8, 1, 13, 1, 8上插值零，如果
\[f(1)=f(3)=f(8)=f'(1)=f(13)=f''(1)=f'(8)=0.\]如果两个函数 $f$ 和 $g$ 使得 $f-g$ 在点 $x_0$, $x_1$, $\cdots$, $x_n$ 上插值零，我们称 $f$ 在点 $x_0$, $x_1$, $\cdots$, $x_n$ 上插值 $g$（或者 $g$ 在点 $x_0$, $x_1$, $\cdots$, $x_n$ 上插值 $f$）．
回答如下问题：
(1) 证明：一个多项式在点 $x_0$, $x_1$, $\cdots$, $x_n$ （允许重复）上插值零的充分必要条件是它包含因子 $\prod\limits_{j=0}^n(x-x_j)$．
(2) 设 $f$ 在基点 $x_0$, $x_1$, $\cdots$, $x_n$ 上插值 $g$，并且 $h$ 在这些点上插值零，证明：$f\pm ch$ 在这些点上插值 $g$．
(3) 证明：若 $f$ 在基点 $x_0$, $x_1$, $\cdots$, $x_n$ 上插值零，则 $f$ 在基点 $x_0$, $x_1$, $\cdots$, $x_{n-1}$ 上也插值零．
Definition
定义： 设 $K$ 是域，一个 $K$-代数 $A$ 满足如下条件：
(i) $A$ 是含单位元的环；
(ii) $A$ 是 $K$-线性空间，满足对任意 $k\in K$，$a,b\in A$，都有 $k(ab)=(ka)b=a(kb)$．
例1： 包含 $K$ 的交换环是一个 $K$-代数，比如二元多项式环 $K[X,Y]$、形式幂级数环 $K[[X]]$．
例2： 环 $M_n(K)$ 的加法和乘法分别用矩阵加法和矩阵乘法定义，则 $M_n(K)$ 是 $K$-代数．
(4) 给定基点 $x_0$, $x_1$, $\cdots$, $x_n$．证明：在这些点上插值零的函数集合构成一个 $\mathbf{R}$-代数．
补充习题提示
1． 提示：把 $g(x)$ 写成Newton插值多项式，然后用带余项的Lagrange插值多项式．
2． 提示：验证 $y_i=r_{k+1}(x_i)$，$i=0,1,\cdots,k+1$．
3． 提示：偏导数的定义和 Newton 均差递推定义式或许能带来帮助．