第3周作业
林成森《数值计算方法》第四章习题2、7、8、12、14.
解答
第2题
已知函数$f(x)$的观测数据为$f(-1)=3$，$f(0)=1$，$f(1)=3$，$f(2)=9$．试求以$-1,0,1,2$为基点的Lagrange插值多项式，并求$f(\dfrac{1}{2})$的近似值．
解答：根据Lagrange插值多项式的公式可得出 $p(x)=2x^2+1$，$p(\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{2}$．
计算时注意符号问题，容易出错．
小技巧：如果不确定计算出来的插值多项式是否正确，可代入已知的观测数据验证是否都满足，如果都满足，那么算出来的插值多项式就一定是正确的（这是根据 代数基本定理 ）．
第7题
设$f(x)=3x\mathrm{e}^x-2\mathrm{e}^x$．以$x_0=1$，$x_1=1.05$，$x_2=1.07$作抛物线插值计算$f(1.03)$的值，将实际误差与由公式
\[|f(x)-p_n(x)| \le \left(\max\limits_{a\le y\le b}|f^{(n+1)}(y)| \right) \dfrac{|w_{n+1}(x)|}{(n+1)!}\]所得的误差界进行比较．
本题的意思是假设插值多项式为$p_2(x)$，$\mathrm{deg}(p_2(x))=2$，且
\[\left\{\begin{aligned} &p_2(1)=f(1), \\ &p_2(1.05)=f(1.05), \\ &p_2(1.07)=f(1.07), \\ \end{aligned}\right.\]根据Lagrange插值多项式的公式就能得到$p_2(x)$的表达式．于是（下面都保留8位有效数字）
\[p_2(1.03) = 3.0530476\]而实际上$f(1.03) = 3.0531618$，从而
\[|f(1.03)-p_2(1.03)| = 1.142\times 10^{-4}.\]根据$f^{(3)}(x)=(3x+7)\mathrm{e}^x$，$f^{(3)}(1.07)=29.766025$，以及误差界公式得
\[\begin{aligned} |f(1.03)-p_2(1.03)| &< 29.766025 \times \dfrac{0.03\times 0.02\times 0.04}{6} \\ &= 1.1906410\times 10^{-4}. \end{aligned}\]实际算出来的误差确实满足上面的误差界估计式．
易错点：
有同学计算 $M_n = \left(\max\limits_{a\le y\le b}\vert f^{(n+1)}(y)\vert \right)$ 时，算的是2阶导数而不是3阶导数，得出来不符合误差界估计式．
有同学保留的有效数字位数不够多，导致“相减相消”，即算出来的误差不够精确，得出来不符合误差界估计式．
第8题
这道题很重要（你懂的），如果做不出来一定要花时间思考！作为和蔼、慈祥的学长，我就只能点到为止了．
设$x_0,x_1,\cdots,x_n$为$n+1$个相异的插值基点，$l_i(x)(i=0,1,\cdots,n)$为Lagrange基本多项式，证明
(1) $\sum\limits_{i=0}^nl_i(x)=1$；
(2) $\sum\limits_{i=0}^nx_i^jl_i(x)=x^j$，$j=1,2,\cdots,n$；
(3) $\sum\limits_{i=0}^n(x_i-x)^jl_i(x)=0$，$j=1,2,\cdots,n$；
(4)
\[\sum\limits_{i=0}^nl_i(0)x_i^j=\left\{\begin{aligned} &1, &&j=0, \\ &0, &&j=1,2,\cdots,n, \\ &(-1)^nx_0x_1\cdots x_n, &&j=n+1. \end{aligned}\right.\]
(1)和(2)分别考虑对$f(x)=1$和$f(x)=x^j$，$j=1,2,\cdots,n$用Lagrange插值公式，得到$n$次多项式$p_n(x)$．因为此时$f$的$n+1$次导数是0，根据插值误差公式，有
\[|f(x)-p_n(x)|\equiv 0.\]所以$f(x)\equiv p_n(x)$．
(3)用二项式展开
\[(x_i-x)^j=x_i^j-\mathrm{C}_j^1x_i^{j-1}x+\cdots+(-1)^j\mathrm{C}_j^jx^j\]和
\[(1-1)^j=1-\mathrm{C}_j^1+\cdots+(-1)^j\mathrm{C}_j^j=0.\](4)只看$j=n+1$的情形（$j=0,1,\cdots,n$均可由前三问推出）．
让$f(x)=x^{n+1}$，得到$n$次Lagrange插值多项式，此时$f^{(n+1)}(x)=(n+1)!$，根据带余项的Lagrange插值公式，有
\[f(x)-p_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}w_{n+1}(x) = w_{n+1}(x).\]其中，
\[p_n(x)=\sum\limits_{i=0}^nf(x_i)l_i(x)=\sum\limits_{i=0}^nx_i^nl_i(x).\]让$x=0$即可．
第12题
设$p_n(x)$是函数$f(x)=\cos x$关于区间$[0,\dfrac{\pi}{2}]$上的等距点$x_i=\dfrac{(i-1)}{2n}\pi$ $(i=1,2,\cdots,n+1)$的Lagrange插值多项式，证明$\lim\limits_{n\to\infty}p_n(x)=\cos x$．
只需用Lagrange插值多项式的误差估计，然后就是简单数分题．
易错点：
放缩时要注意绝对值，这是数学分析基本功的问题！比如有同学写
\[r_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}w_n(x) \le \dfrac{1}{(n+1)!}(\dfrac{\pi}{2})^{n+1}.\]要把不等号左边加上绝对值．
第14题
设函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上有单值反函数$x=g(y)$．反插值法是在插值法中将$y_i(=f(x_i))$与$x_i$的地位对调，已知$y$的值求$x=g(y)$的近似值．就$y=\sqrt{x}$取$x_0=1.05$，$x_1=1.10$，$x_2=1.15$，用Lagrange插值求$(1.05)^2$的近似值（计算结果取四位小数）．
函数$f(y)=y^2$上有数据$(y_i,x_i)$为：$(\sqrt{1.05},1.05)$，$(\sqrt{1.10},1.10)$，$(\sqrt{1.15},1.15)$，这三点确定的插值多项式就是
\[p_2(y)=y^2.\]而$1.05 \in [\sqrt{1.05}, \sqrt{1.15}]$，所以必定有
\[p_2(1.05)=f(1.05)=1.1025.\]易错点：
如果得出误差比较大，可能是算错了．正常来说误差应该非常小．
有同学说“我实在无法理解这题在干什么”，可能是因为这题给的函数太特殊了，它的反函数是一个二次函数，所以插值多项式是精确的．其实可以试一下复杂一点的函数，比如对
\[f(x)=x\mathrm{e}^x(x\ge 0)\]进行反插值．
第3周答疑
这周没有同学提问作业之外的内容