第2周作业

新版讲义第一章1、4、8(3)、10(3)、13．

1． 应用梯形公式

计算积分

的近似值，在整个计算过程中按四舍五入规则取五位小数．计算中产生的误差的主要原因是离散或是舍入？为什么？

4． 证明：若近似数$\overline{a}=\pm a_0a_1\cdots a_m.a_{m+1}\cdots a_n$的相对误差有估计式

其中$a_s\ne 0$是$\overline{a}$的第一位有效数字，则$\overline{a}$至少具有$n+1-s$位有效数字．

8(3)． 当$x(>0)$很大时，如何计算$\dfrac{\sin x}{x-\sqrt{x^2-1}}$，可使其误差较小？

10(3)． 在$p=10$，$t=4$，$L=U=5$的舍入（或断位）的假想计算机上，将下列实数写成相应的规格化浮点数：$52\dfrac{1}{3}$．

13． 设字长$t=8$，以及

求：$fl(fl(x+y)+z)$，$fl(x+fl(y+z))$ 和 $x+y+z$．

解答

第1题解答

舍入误差在这里对结果的影响不算大，产生误差应该主要是把连续积分问题离散化造成的．

在第5章会学习数值积分，涉及到各种数值积分公式，将会从理论上分析离散误差的上界．

第4题解答

讨论$s=0$或$s\ne 0$，验证有效数字的定义即可．

思考：这题能不能说$\overline{a}$恰好有$n+1-s$位有效数字？

第8(3)题解答

计算$(x+\sqrt{x^2-1})\sin x$．

第10(3)题解答

$0.5233\times 10^{-2}$．

第13题解答

计算结果分别是：$0.64100000\times 10^{-3}$，$0.64137126\times 10^{-3}$，$0.641371258\times 10^{-3}$．

本题就是要让同学们体会运算顺序对结果的影响．可以看到，第一种计算方法与精确值之间的误差数量级是$10^{-4}$，第二种计算方法则是$10^{-8}$．

在多个数字相加的任务中，一般先计算数量级接近的数字，而不要先计算数量级差异太大的数字，减少舍入误差对计算精度的影响．

第2周答疑

1．浮点数运算的次序问题

上课提到，计算机计算机器数时，先正确地进行计算，然后再进行规格化和舍入，最后以机器数的形式存储在存储器中． 具体而言，对于两个机器数$x$，$y$，记$\odot$表示加、减、乘、除的其中一个运算，当$x\odot y$被计算和存储时，我们得到的最接近于$x\odot y$的数实际上是以一个舍入到$fl(x\odot y)$机器数的形式拟合$x\odot y$，然后存储那个数．

浮点数运算满足下面的不等式：

其中$\varepsilon$是机器精度．

机器数$x=0.31426\times 10^{3}$，$y=0.92577\times 10^5$，在$p=10$的计算机、浮点数系采用$t=5$，计算两个机器数的加减乘除的值．

对中间结果用双倍长的累加器，我们有

有5位小数的计算机以舍入形式存储它们：

某同学问了如下问题：

请问这种情况是先舍入还是先左移呢？

例如：两个机器数$x=0.10245\times 10^{-2}$，$y=0.14763\times 10^{-3}$，$p=10$，$t=5$，于是

\[\begin{aligned} x \ominus y&=0.10245\times 10^{-2} - 0.14763\times 10^{-3} \\ &=0.10245\times 10^{-2}-0.014763\times 10^{-2} \\ &=0.087687\times 10^{-2} \end{aligned}\]

最后得到$0.08769\times 10^{-2}=0.87690\times 10^{-3}$还是$0.87687\times 10^{-3}$？

根据前面所说的计算步骤，应当先计算出

然后再取浮点数，根据浮点数满足的不等式（其实就是要对阶），可知

总之，浮点数运算先对阶，再计算，再舍入(或截断)，得到的结果再对阶．

林成森《数值计算方法》中讲到的浮点数运算是不对的． 如果按照林成森《数值计算方法》的浮点数运算，在进行浮点数运算时要先对阶，再舍入（或截断），然后再计算．

对阶之后，$y$变成$0.014763\times 10^{-2}$，然后再舍入，变成$0.01476\times 10^{-2}$．所以应该计算的是

\[\begin{aligned} x\ominus y&=0.10245\times 10^{-2} - 0.01476\times 10^{-2} \\ &=0.10245\times 10^{-2}-0.01476\times 10^{-2} \\ &=0.08769\times 10^{-2}. \end{aligned}\]

2．相减相消补充

相减相消(catastrophic cancellation)的问题通常都是在不经意中出现的．例如同学们可以考虑在计算机实现泰勒展开：

这个级数对所有$x\in\mathbf{R}$都收敛．在Python中可以如下实现级数计算：

def my_exp(x):
    ans = 1.0;  term = 1.0;     n = 0
    while ans+term != ans: # continue adding new terms until the answer doesn't change
        n = n+1
        term = term * (x/n)
        ans = ans+term
    return ans

当$n$充分大时，$x^n/n!$很小，当它的绝对值小于机器精度时，它在计算机中就表示为0，从而后续的项都为0．

对比my_exp(x)和math.exp(x)结果如下：

可以看到在多数情况下都是准确的，但是如果是较大的负数($x=-20,-40$)，得到的结果就不准确． 主要是因为当$x>0$时，求和中的所有项都是正的，当$x < 0$时，求和中的项正负交替出现，容易出现相减相消．

为了避免这个问题，当$x < 0$时可以不采用Taylor公式来计算$\mathrm{e}^x$，而是利用恒等式

把$x < 0$转化成$x>0$的情形再进行计算．

def my_exp2(x):
    # Calculation of exp(x), avoiding catastrophic cancellation
    if x >= 0.0:
        return my_exp(x)
    else:
        return 1.0 / my_exp(-x)

对比my_exp2(x)和math.exp(x)结果如下：

这样得到的计算结果就非常准确了，达到了15位有效数字．