第15周作业
教材习题10：36、38(3)
解答
第36题
设正实数列 $u_0,u_1,u_2,\cdots$ 满足递推不等式
\[u_{n+1}\le u_n+\sum\limits_{j=0}^ma_ju_{n-j}+b,\]其中 $n=m,m+1,m+2,\cdots$，而 $a_j\ge 0$，$j=0,1,\cdots,m$，$b\ge 0$．试证明：对 $n=0,1,2,\cdots$，有
\[u_n\le \left(\delta+\dfrac{b}{A}\right)\mathrm{e}^{nA}-\dfrac{b}{A},\]其中实数 $\delta \ge u_j$，$j=0,1,\cdots,m$，并且，$A=\sum\limits_{j=0}^ma_j\ne 0$．
注： 这个不等式叫做 离散Gronwall不等式．
证明： 首先这个不等式对 $n=0,1,\cdots,m$ 显然成立．下面用第二数学归纳法来证明对 $n\ge m$ 也成立．
假设 $u_n\le \left(\delta+\dfrac{b}{A}\right)\mathrm{e}^{nA}-\dfrac{b}{A}$ 当 $n\le k$ 时成立（$k\ge m$），则对 $n=k+1$，
\[\begin{aligned} u_{k+1}&\le u_k+\sum\limits_{j=0}^ma_ju_{k-j}+b \\ &\le \left(\delta+\dfrac{b}{A}\right)\mathrm{e}^{kA}-\dfrac{b}{A} + \sum\limits_{j=0}^ma_j\left[\left(\delta+\dfrac{b}{A}\right)\mathrm{e}^{(k-j)A}-\dfrac{b}{A}\right]+b \\ &=\left(\delta+\dfrac{b}{A}\right)\mathrm{e}^{kA} + \left(\delta+\dfrac{b}{A}\right)\mathrm{e}^{kA}\sum\limits_{j=0}^ma_j\mathrm{e}^{-jA} -\dfrac{b}{A} \\ &\le \left(\delta+\dfrac{b}{A}\right)\mathrm{e}^{kA} + \left(\delta+\dfrac{b}{A}\right)\mathrm{e}^{kA} A\sum\limits_{j=0}^m\mathrm{e}^{-jA} -\dfrac{b}{A} \\ &\le \left(\delta+\dfrac{b}{A}\right)\mathrm{e}^{kA}(1+A)-\dfrac{b}{A} \\ &\le \left(\delta+\dfrac{b}{A}\right)\mathrm{e}^{(k+1)A}-\dfrac{b}{A}. \end{aligned}\]证明完成．
第38(3)题
判断解初值问题
\[y'=f(t,y), y(t_0)=y_0\]的多步法
\[y_n-y_{n-1}=\dfrac{h}{12}(5f_n+8f_{n-1}-f_{n-2})\]是否收敛，为什么?
判断多步法收敛，只需判断相容且稳定．
（1）相容条件：
\[\begin{aligned} &\rho(\lambda)=\lambda^2-\lambda, \\ &\rho'(\lambda)=2\lambda-1, \\ &\sigma(\lambda)=\dfrac{1}{12}(5\lambda^2+8\lambda-1). \end{aligned}\]因为 $\rho(1)=0$，$\rho’(1)=\sigma(1)=1$，所以这个多步法是相容的．
（2）稳定性条件：即判断根条件．$\rho(\lambda)$ 的两根为 $0$ 和 $1$，它都在单位圆中，并且单位圆周上的根 $1$ 是单根． 因此多步法是稳定的．
结合（1）（2），这个多步法是收敛的．