第12周作业
教材习题10：1、3
解答
第1题
求微分方程初值问题
\[\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\alpha y-\beta y^2, \qquad y(t_0)=y_0\]的解 $y(t)$，并证明 $\lim\limits_{t\to\infty}y(t)=\dfrac{\alpha}{\beta}$．
利用分离变量法（复习《常微分方程》），可得
\[y(t)=\dfrac{\alpha}{\beta-C\mathrm{e}^{-\alpha t}},\]代入 $y(t_0)=y_0$ 可解得 $C$，从而
\[y=\dfrac{\alpha y_0}{\beta y_0-(\beta y_0-\alpha)\mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)}}.\]让 $t\to+\infty$，得 $\lim\limits_{t\to+\infty}y(t)=\dfrac{\alpha}{\beta}$．
第3题
假设函数 $g(x)$ 和 $h(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，证明初值问题
\[y'=g(x)y+h(x), \qquad y(a)=\eta\]在 $[a,b]$ 上有唯一解，并且对任何初始值都是适定的．
存在唯一性：直接使用 10.1 节定理 1．
适定性：直接使用 10.1 节定理 2．