第 13 周作业（理论11）
第五章 3、4
解答
第3题解答
假设函数 $g(x)$ 和 $h(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，证明初值问题
\[y'=g(x)y+h(x), \qquad y(a)=\eta\]在 $[a,b]$ 上有唯一解，并且对任何初始值都是适定的．
直接使用定理 5.1.1．
第4题解答
用 Taylor 级数法（取 $p=3$ ）导出求解初值问题
\[y'=\dfrac{1}{1+y^2}, \quad y(0)=1\]的数值方法．
解：设 $f(t,y(t)) = \dfrac{1}{1+y^2}$，则 $y’(t)=f(t,y(t))$．依 Taylor 展开，
\[y(t+h)=y(t)+hy'(t)+\dfrac{1}{2}h^2y^{\prime\prime}(t)+\dfrac{1}{3!}h^3y^{(3)}(t) +\cdots,\]其中，
\[\begin{aligned} y'(t) &= f(t,y(t)), \\ y^{\prime\prime}(t) &= f_t(t,y(t)) + y'(t)f_y(t,y(t)) = f_t + ff_y, \\ y^{(3)}(t) &= \Big[f_{tt}(t,y(t)) + y'(t)f_{ty}(t,y(t))\Big] + \\ &\qquad y^{\prime\prime}(t)f_y(t,y(t)) + y'(t)\Big[ f_{ty}(t,y(t)) + f_{yy}(t,y(t))y'(t)\Big] \\ &=f_{tt}+2y'f_{ty}+y^{\prime\prime}f_y+(y')^2f_{yy} \\ &=f_{tt}+2ff_{ty}+(f_t+ff_y)f_y+f^2f_{yy}. \end{aligned}\]代入 $f$ 的表达式，得
\[\begin{aligned} f_y&=-\dfrac{2y}{(1+y^2)^2}, \\ f_{yy}&=\dfrac{6y^2-2}{(1+y^2)^3}, \\ y'(t)&=\dfrac{1}{1+y^2}, \\ y^{\prime\prime}(t)&=\dfrac{-2y}{(1+y^2)^3}, \\ y^{(3)}(t)&=\dfrac{4y^2}{(1+y^2)^5}+\dfrac{6y^2-2}{(1+y^2)^5} = \dfrac{10y^2-2}{(1+y^2)^5}. \end{aligned}\]将 $y’,y^{\prime\prime},y^{(3)}$ 代回原式，并取 $h = t_{n+1}-t_n$，得迭代公式
\[\begin{aligned} y_0&=1, \\ y_{n+1}&=y_n+h\left[\dfrac{1}{1+y_n^2}-\dfrac{hy_n}{(1+y_n^2)^3} + \dfrac{h^2}{3}\cdot\dfrac{5y_n^2-1}{(1+y_n^2)^5}\right]. \end{aligned}\]【易错警示】推导出了错误的公式，比如
\[y_{n+1}=y_n+h[f(y_n)+\dfrac{1}{2}h(f'(y_n)f(y_n)) + \dfrac{1}{3!}h^2(f^{\prime\prime}(y_n)f^2(y_n))\]请确保理解了书中 $f=f(t,y(t))$ 的具体含义！