第 12 周作业（理论10）
第四章 34、35、37、38
解答
第34题解答
给出计算积分
\[\int_{-1}^1f(x)(1+x^2)\mathrm{d}x\]的两点插值求积公式，使它的代数精度为 3，并导出求积公式的离散误差．
（1）求积公式的推导．
【方法一】 设
\[I_2(f)=c_1f(x_1)+c_2f(x_2),\]因为代数精度为 3，所以令 $f(x)=1,x,x^2,x^3$，那么求积公式精确成立，得方程组
\[\left\lbrace \begin{aligned} &\dfrac{8}{3}=c_1+c_2, && \text{①}\\ &0=c_1x_1+c_2x_2, && \text{②}\\ &\dfrac{16}{15}=c_1x_1^2+c_2x_2^2, && \text{③} \\ &0=c_1x_1^3+c_2x_2^3.&& \text{④} \end{aligned} \right.\]由②④得 $x_1=-x_2$，
再代入①②得 $c_1=c_2=\dfrac{4}{3}$，
由③得 $x_1=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，$x_2=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$．
【方法二】 设 $p_n(x)$ 是按权函数 $w(x)=1+x^2$ 的正交多项式，$p_0(x)=1$，
按正交多项式的递推式，即 (3.3.3) 式（2025年版讲义），计算可得：
$p_1(x)=x$，$p_2(x)=x^2-\dfrac{2}{5}$．
由 Gauss 求积公式的性质，$x_1,x_2$ 是 $p_2(x)$ 的两根．
所以 $x_1=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，$x_2=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$．
在求 $c_1,c_2$ 时，因为当 $f(x)=x-x_1$ 和 $f(x)=x-x_2$ 时，求积公式精确成立，得关于 $c_1,c_2$ 的方程，从而得所求结果．
（2）离散误差的推导．
由(4.6.7)式，误差公式是
\[E_n(f)=\dfrac{f^{(4)}(\xi)}{4!}\int_{-1}^1(x^2-\dfrac{2}{5})^2(1+x^2)\mathrm{d}x=\dfrac{17}{1575}f^{(4)}(\xi).\]第35题
求 Gauss 求积公式
\[\int_0^1f(x)\ln x\mathrm{d}x\approx A_1f(x_1)+A_2f(x_2)\]的系数 $A_1$, $A_2$ 以及基点 $x_1$, $x_2$，并导出离散误差．
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第37题
用三点 Gauss-Legendre 求积公式计算积分 $\displaystyle\int_0^1\dfrac{\sin x}{1+x}\mathrm{d}x$ 的近似值．
先换元：$t=2x-1$，则 $t\in[-1,1]$，积分换成
\[\int_{-1}^1\dfrac{\sin\frac{t+1}{2}}{t+3} \mathrm{d}t,\]设 $f(t)=\dfrac{\sin\frac{t+1}{2}}{t+3}$，三点 Gauss-Legendre 求积公式：
\[I_3(f)=c_1f(x_1)+c_2f(x_2)+c_3f(x_3),\]其中 $x_1,x_2,x_3$ 是方程 $L_3(x)=\dfrac{1}{2}(5x^3-3x)=0$ 的三个根，$c_1=c_3=\dfrac{5}{9}$，$c_2=\dfrac{8}{9}$．用这个求积公式就能得出近似值．
第38题
作适当变换，应用 Gauss-Chebyshev 求积公式计算积分
\[I=\int_1^3 x\sqrt{4x-x^2-3}\mathrm{d}x\]
令 $t=x-2$，$4x-x^2-3=(x-1)(3-x)$．则
\[\begin{aligned} I&=\int_{-1}^1 (t+2)\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t \\ &=\int_{-1}^1 \dfrac{(t+2)(1-t^2)}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t \\ \end{aligned}\]设 $f(t)=(t+2)(1-t^2)$，它是 3 次多项式，只需用 2 点 Gauss-Chebyshev 求积公式是
\[\begin{aligned} \int_{-1}^1f(x)(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x &=\dfrac{\pi}{2}\left(f(\cos\dfrac{\pi}{4})+f(\cos\dfrac{3\pi}{4})\right) \\ &= \pi. \end{aligned}\]