参考书: Kincaid, Numerical Analysis, Section 6.10.
寻找多元函数的插值比一元函数的插值复杂许多, 多元问题常常会出现一些在一元问题中所没有的异常特征, 当仅有两个变量时这些特征就已经很明显了. 因此, 只讨论二元问题(两个独立变量).
基本问题
在$xy$平面内给定插值点(或者结点)集合, 记为
\[(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n).\]我们假设这$n$个点不相同, 每个点$(x_i,y_i)$存在一个对应的实数$c_i$, 目的是寻找一个光滑且容易计算的函数$F$, 使得
\[F(x_i,y_i)=c_i\qquad (1\le i\le n).\]这里“光滑”和“容易计算”只有非正式的或者直观的含义.
笛卡尔网格
刚才所描述的插值问题有时可以用一元插值的张量积(tensor product)来求解.
我们首先来处理下面这种情况：记结点集为
\[\mathcal{N}=\{x_1,x_2,\cdots,x_p\}\times\{y_1,y_2,\cdots,y_q\}.\]因此, $\mathcal{N}$是所有数对$(x_i,y_j)$的集合, 其中$x_i$选自第一个集合, $y_j$选自第二个集合. 换言之,
\[\mathcal{N}=\{(x_i,y_j):1\le i\le p, 1\le j\le q\}.\]结点的这种阵列通常称为笛卡尔网格(Descartes grid).
假设我们有一个结点$x_1,x_2,\cdots,x_p$的一元多项式插值格式, 我们把它看做下列形式的一个线性算子$P$:
\[(Pf)(x)=\sum\limits_{i=1}^pf(x_i)u_i(x).\]其中函数$u_i$具有基性质:
\[u_i(x_j)=\delta_{ij}, \qquad 1\le i,j\le p.\]线性算子$P:f\mapsto Pf$是一个从函数空间$C^0$到函数空间$\mathrm{span}\lbrace u_1,\cdots,u_p\rbrace$的映射.
例如, 在常规的多项式插值中函数$u_i$可以如下给出:
\[u_i(x)=\prod\limits_{\substack{j=1 \\ j\ne i}}^p\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}, \qquad 1\le i\le p.\]注意到, 算子$P$可以被平凡地推广, 使其作用在两个或更多变量的函数上. 因此, 如果$f$是二元函数, 我们可以记
\[(\overline{P}f)(x,y)=\sum\limits_{i=1}^pf(x_i,y)u_i(x),\]并立即可以看出$\overline{P}f$是在下列垂直线上插值$f$的一个二元函数:
\[L_i\triangleq\{(x_i,y): -\infty < y < \infty\}, \qquad 1\le i\le p.\]类似地, 我们可以定义$y$分量上的算子. 假设另一个算子可用于结点$y_1,y_2,\cdots,y_q$的插值, 我们给出
\[(Qf)(y)=\sum_{i=1}^qf(y_i)v_i(y),\]其中$v_i$是任何适当的函数且具有基性质
\[v_i(y_j)=\delta_{ij}, \qquad 1\le i,j\le q.\]利用下式可以把$Q$推广使其作用在二元函数上:
\[(\overline{Q}f)(x,y)=\sum_{i=1}^qf(x,y_i)v_i(y).\]$\overline{Q}f$是在下列水平线上插值$f$的一个二元函数:
\[L^i\triangleq\{(x,y_i): -\infty < y < \infty\}, \qquad 1\le i\le q.\]布尔和
可以利用$\overline{P}$和$\overline{Q}$构造两个有用的二元插值算子: 他们是布尔积(Boolean product)$\overline{PQ}$和布尔和(Boolean sum)$\overline{P}\oplus\overline{Q}$:
\[\overline{P}\oplus\overline{Q}=\overline{P}+\overline{Q}-\overline{PQ}.\]根据$\overline{P}$和$\overline{Q}$的定义, 很容易推导出这些算子的详细公式:
\[(\overline{PQ}f)(x,y)=\overline{P}(\overline{Q}f)(x,y) =\sum\limits_{i=1}^p\sum\limits_{j=1}^qf(x_i,y_j)v_j(y)u_i(x).\]对算子$\overline{PQ}$也会使用张量积的记号$P\otimes Q$. 于是容易得到
\[[(\overline{P}\oplus\overline{Q})f](x,y) =\sum_{i=1}^pf(x_i,y)u_i(x)+\sum_{j=1}^qf(x,y_j)v_j(y) -\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^qf(x_i,y_j)u_i(x)v_j(y).\]证明: 函数$(\overline{P}\oplus\overline{Q})f$在所有水平线$L_i(1\le i\le p)$和所有垂直线$L^j(1\le j\le q)$上插值$f$, 即
\[[(\overline{P}\oplus\overline{Q})f](x_i,y_j) = f(x_i,y_j)\]恒成立.
例1
给出一个二元多项式的表达式, 它在12个点处的取值如下:
\[\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|} \hline (x,y) & (1,1)&(2,1)&(4,1)&(5,1) \\ \hline f(x,y) & 1.7 &-4.1 &-3.2&4.9 \\ \hline (x,y) &(1,3)&(2,3)&(4,3)&(5,3) \\ \hline f(x,y) & 6.1 &-4.2 & 2.3 &7.5 \\ \hline (x,y) & (1,4)&(2,4)&(4,4)&(5,4) \\ \hline f(x,y) & -5.9& 3.8& -1.7&2.5 \\ \hline \end{array}\]
解： 首先看出这些结点构成一个笛卡尔网格, 因而可应用前面的方法. 根据$L^i$和$L^j$上的Lagrange基函数, 我们可以得到
\[\begin{aligned} u_1(x)&=-\dfrac{1}{12}(x-2)(x-4)(x-5) \\ u_2(x)&=\dfrac{1}{6}(x-1)(x-4)(x-5) \\ u_3(x)&=-\dfrac{1}{6}(x-1)(x-2)(x-5) \\ u_4(x)&=\dfrac{1}{12}(x-1)(x-2)(x-4) \\ v_1(y)&=\dfrac{1}{6}(y-3)(y-4) \\ v_2(y)&=-\dfrac{1}{2}(y-1)(y-4) \\ v_3(y)&=\dfrac{1}{3}(y-1)(y-3) \end{aligned}\]因此多项式插值是
\[\begin{aligned} F(x,y)&=u_1(x)[1.7v_1(y)+6.1v_2(y)-5.9v_3(y)] \\ &\quad + u_2(x)[-4.1v_1(y)-4.2v_2(y)+3.8v_3(y)] \\ &\quad + u_3(x)[-3.2v_1(y)+2.3v_2(y)-1.7v_3(y)] \\ &\quad + u_4(x)[4.9v_1(y)+7.5v_2(y)+2.5v_3(y)] \end{aligned}\]张量积
如果把例1的函数$F$表示成项$x^iy^j$的和, 那么会出现下列12项:
\[1,x,x^2,x^3,y,xy,x^2y,x^3y,y^2,xy^2,x^2y^2,x^3y^2. \tag{1}\]这样, 我们用二元多项式的12维子空间进行插值. 这个子空间特有的记号是$\Pi_3\otimes \Pi_2$, ($\Pi_k$表示不超过$k$次的多项式全体), 它是两个线性空间的张量积, 可由所有如下形式的函数组成:
\[(x,y)\mapsto\sum_{i=1}^ma_i(x)b_i(y), \qquad \text{其中}a_i\in \Pi_3, b_i\in \Pi_2.\]不难证明$(1)$式中的函数构成这个空间的一组基.
要强调的一点是刚才概述的理论可应用于一般的函数$u_i$和$v_j$, 而并不仅仅只应用于多项式, 它们所需要的只是基性质.
几何图形
结点怎么样分布才能构建出多元插值？
Newton格式
Shepard插值
Shepard函数在广义有限元方法中的应用.