处处不可导的连续函数

我们要举一个处处不可导的连续函数的简单例子. 更多例子可以参考

• Johan Thim, 2003, Continuous Nowhere Differentiable Functions, Master Thesis. (点击这里下载)
• Marek Jarnicki, Peter Pflug. 2015, Continuous Nowhere Differentiable Functions. 10.1007/978-3-319-12670-8.
  (点击这里下载)

1930年, 荷兰数学家范·德·瓦尔登(Van der Waerden, 1903-1996)构造了一个处处不可导的连续周期函数.

设

\[\Psi_0(x)=\left\{\begin{aligned} &x, &&0\le x\le\frac{1}{2}, \\ &1-x, &&\frac{1}{2}\le x\le 1, \end{aligned}\right.\]

并以周期1延拓这个函数到全数轴. 延拓后的周期函数用$\varphi_0$表示. 还设

\[\varphi_n(x)=\dfrac{1}{4^n}\varphi_0(4^nx).\]

那么函数$\varphi_n$的周期是$4^{-n}$, 并且除了点$x=\dfrac{k}{2^{n+1}}(k\in\mathbb{Z})$之外处处有导数, 导数等于1或$-1$. 设

\[f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\varphi_n(x),\]

则函数$f$在$\mathbb{R}$上有定义且连续, 但处处没有导数.

具体可以看梅加强《数学分析》的第8章第4节(在264页).

---