第7次作业
习题3.4/15, 16, 18.
习题3.5/1, 3, 4.
主要问题
3.4/15题
问题1： 用反证法证明$f(x)$具有单调性. 若不然, 存在$x_0\in\mathbb{R}$, 存在$\delta_1>0$, 使得$f(x)$在$(x_0-\delta_1,x_0)$与$(x_0,x_0+\delta_1)$中具有相反的单调性.
错误原因：存在连续函数, 在任意子区间都不单调.
问题2： 依题意, 若$f(x)$存在, 则$\lim\limits_{x\to -\infty}f(f(x))=+\infty$. 则由14题可知, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$.
错误原因：14题说的是$\lim\limits_{x\to \infty}f(f(x))=\infty$可以推出$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty$. 而$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty$的定义为(参见书的第47页和51页):
- 对任意$M>0$, 存在$K>0$, 当$\vert x\vert >K$时, $\vert f(x)\vert >M$.
这里双边都要趋于无穷（正无穷或负无穷）.
问题3： 只讨论了$f$严格递增和严格递减就说这样的$f$不存在.
错误原因：没有排除$f$同时递增或递减的情况.
问题4： 说明$f$严格单调之后, 对$f(f(x))=e^{-x}$求导得到$f’(x)f’(f(x))=-e^{-x}$, 然后由$f’$恒正或恒负得到左边恒大于$0$, 右边恒小于$0$, 导出矛盾.
错误原因：本题并没有假设$f$可导, 所以不可以求导. 而且请不要用后面的知识来做前面的题！
问题5： 设$x_1,x_2\in\mathbb{R}$满足$x_1>x_2$. 分类讨论：①若$f(x_1)>f(x_2)$, 则$f(x)$单调递增. ②若$f(x_1) < f(x_2)$, 则$f(x)$单调递减.
错误原因：现在只是在两点$x_1,x_2$比较大小, 不能推出在整个区间上单调.
3.4/16题
问题： 推出$\sum\limits_{k=0}^{n-1}g\left(\dfrac{k}{n}\right)=f(0)-f(1)=0$后, 说“假设$\forall x\in \left[0,1-\dfrac{1}{n}\right]$, $g(x)\ne 0$”然后导出矛盾.
错误原因：不能这样假设, 假设的条件过强, 应该假设“$g\left(\dfrac{k}{n}\right)$全为正或全为负”.
3.4/18题
问题1： 取$c\in[a,+\infty)$, 则$f\in C^0[a,c]$. 由于$\dfrac{f(x)}{x}$是$[a,c]$上的连续函数, 而闭区间上的连续函数是一致连续的, 此时若让$c\to+\infty$, 那么也就说$\dfrac{f(x)}{x}$为$[a,+\infty)$中的一致连续函数.
错误原因：只能说明对任意$c\in[a,+\infty)$, 函数$\dfrac{f(x)}{x}$是$[a,c]$上的连续函数(这是所谓的“内闭一致连续”), 但不能说明在$[a,+\infty)$上一致连续.
例如：函数$g(x)=\sin(x^2)$在所有闭区间$[a,c]$都是一致连续的, 但是在$[a,+\infty)$上不是一致连续的.
问题2： 证明的时候, 写$\varepsilon>0$, $\exists \delta=\dfrac{\varepsilon}{B}$(其中$B$是跟$x,y$有关的), 当$\vert x-y\vert < \delta$时, $\left\vert \dfrac{f(x)}{x}-\dfrac{f(y)}{y}\right\vert \le B\vert x-y\vert < \varepsilon.$
错误原因：取的$\delta$必须跟$x,y$无关, 只能是个常数($a$也是常数, 所以可以跟$a$有关). 请回顾一致连续的定义.
问题3： 写$f(x)$有界, 或者写“任给一个$f(y)$, 必可以找到一个比$f(y)$大的数, 记为$M$, 使得$M>f(y)$”.
错误原因：Lipschitz函数不一定有界.
3.5/1题
问题1： 直接积分写$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=S_n(f,[a,b])$.
错误原因：$\lim$不见了.
问题2： 换元$x=\dfrac{\pi}{2}-y$, 然后用书上例题的结论.
错误原因：没按题目要求去做，题目要求是按积分定义直接验证, 所以不可以用任何积分的性质.
3.5/3题
问题1： 证后半部分的时候, 作分割$a=x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$. 假设$f$不恒为$0$, 且$\int_a^bf=0$, 则存在$x_m$($m\in\lbrace 0,1,\cdots,n\rbrace$), 使得$f(x_m)>0$.
错误原因: 有可能会出现$f(x_0)=f(x_1)=\cdots=f(x_n)=0$但$f$不恒为0, 且$\int_a^bf=0$的情况.
问题2： 证后半部分的时候, 用保号性时没把“$>$”取极限后变成“$\ge$”.
错误原因：强调过$N$遍的问题了，还是有同学没注意😂莫得办法
问题3： 根据连续性, 存在$\delta>0$使得$f(x)$在$(x_0-\delta,x_0+\delta)$满足$f(x)>0$. 然后推出积分$\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x)\mathrm{d}x>0$.
错误原因：积分保号性也是把“$>$”变成“$\ge$”. 事实上, 应该写存在$\delta>0$使得$f(x)$在$(x_0-\delta,x_0+\delta)$满足$f(x)>\dfrac{f(x_0)}{2}$, 然后推出来
\[\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x)\mathrm{d}x \ge \delta f(x_0)>0,\]这样才能导出矛盾. (如果$x_0$恰好为端点$a$或者端点$b$, 那就取半边区间. )
3.5/4题
问题1： 讨论了一大堆$x > y$, $x < y$等等.
请同学们善于用绝对值, 这题其实两三行就能搞定. (虽然讨论也没错, 但是就是不太符合数学分析的taste)
问题2： 写$\int_c^{x_1}f(t)\mathrm{d}t-\int_c^{x_2}f(t)\mathrm{d}t=\int_c^{x_1-x_2}f(t)\mathrm{d}t$.
拜托, 积分的四则运算性质不是这么用的!
作业之后的思考题:（此部分思考题为助教友情提供，与上课无关，感兴趣可以做，不感兴趣可以不做）
个别同学没说清楚下面这个命题, 直接就糊弄过去了.
1. 设$a>0$. 若$f\in \mathrm{Lip}([a,+\infty))$, 证明：存在常数$M>0$, 使得
\[\vert f(x)-f(a)\vert \le Mx.\]把16题的$\frac{1}{n}$改成一般的有理数, 或者无理数, 结论还对吗?
2. 设$f\in C^0[0,1]$, 且$f(0)=f(1)$.
(1)对任意有理数$r\in(0,1)$, 是否均存在$\xi_r\in[0,1-r]$, 使得$f(\xi_r)=f(\xi_r+r)$?
(2)对任意无理数$t\in(0,1)$, 是否均存在$\xi_t\in[0,1-t]$, 使得$f(\xi_t)=f(\xi_t+t)$?
下面两题是从别的书上扒来的, 感兴趣的同学可以做做看.
3. 证明：如果$f(x)$是连续的, 并且
\[f(x)=\int_0^xf(t)\mathrm{d}t,\]则$f(x)$恒为零.
4. (1)设$f\in \mathrm{Lip}([0,1])$, 即存在常数$M>0$满足
\[\vert f(x)-f(y)\vert \le M\vert x-y\vert , \qquad \forall x,y\in[0,1].\]证明: 对于任意正整数$n$,
\[\left\vert \int_0^1f(x)\mathrm{d}x-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nf\left(\dfrac{k}{n}\right)\right\vert \le \dfrac{M}{2n}.\](2)如果$f\in C^0([0,1])$, 是否存在常数$C>0$使得对于任意正整数$n$, 有
\[\left\vert \int_0^1f(x)\mathrm{d}x-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nf\left(\dfrac{k}{n}\right)\right\vert \le \dfrac{C}{n}?\]