第4次作业

2.5节/12;

3.1节/1(1)(5)(6); 2(3)(6)(9); 3(1)(3)(5); 4(2)(4)(6); 8; 9; 10.

批改记号

对于没有文字注释的批改部位，符号的意义如下：

主要问题

2.5节/12题

问题1： 在讨论完闭区间的情形后未拓展到一般情形

问题2： 只讨论有限区间的情形，不考虑无穷区间

问题3： 证明闭区间上局部常值函数为常值函数时用这样的方法：

假设$f$在$[a,b]$ 上是局部常值函数，下面说明他是常值函数：取$x_0=a$ ，则$\exists \delta_0$ 使得 $f(x)$ 在邻域 $U(x_0,\delta_0)$上是常值函数，取$x_1=x_0+\delta_1$ ,又 $\exists \delta_1$ 使得 $f(x)$ 在邻域 $U(x_1,\delta_1)$上是常值函数，以此类推，因为相邻的两个邻域相交不空，所以相邻两个邻域上函数取得的常值相等，进而$f(x)$ 在$[a,b]$ 上为常值函数。

错误原因：这样的过程得到的邻域的并有没有可能无法覆盖$[a,b]$ ？

问题4：（证明完闭区间上的情况后）对于开区间$(a,b)$， $(a,b)\subset[a,b]$， 再应用闭区间的情况。

错误原因： 如果想应用闭区间的情况，首先需要证明$(a,b)$ 上的局部常值函数一定可以延拓为$[a,b]$ 上的局部常值函数，才可以应用已经证明的闭区间的结论，但是并没有人这么写。

3.1节/2(3)题

问题： $\lim_{x\to0} \sqrt{3x+1}=1$ 以及后面很多的题目都是应用复合函数极限法则的结果，但是大部分同学没有在过程中体现。

3.1节/4(4)题

问题： 不考虑 $x=0$ 的情形

3.1节/9题

问题1： 设$f(x)$ 的周期为$T_1$， $g(x)$的周期为$T_2$，则$T_1T_2$ 为 $f(x)$ 与$g(x)$的公共周期

错误原因：$T_1,T_2$未必是整数

问题2： 若$f(x)$ ，$g(x)$ 为周期函数，则$f(x)-g(x)$ 为周期函数； 或者若$f(x)$的周期为 $T_1$ ，$g(x)$的周期为$T_2$ ，则$f(x)-g(x)$ 的周期为 $[T_1,T_2]$（类似于最小公倍数的定义）

错误原因：两个周期函数的和差未必是周期函数。而如果$T_1$和 $T_2$ 不可公度（指他们两个的比值不是有理数）的话，$[T_1,T_2]$ 根本就没有意义。

问题3： 取 $f(x)$ 的一个最小正周期

错误原因： 事实上存在没有最小正周期的非常值周期函数。

作业之后的思考题:（此部分思考题为助教友情提供，与上课无关，感兴趣可以做，不感兴趣可以不做）

下面是两个在第9题中出现的问题.

1. 请举出两个周期函数的差不是周期函数的例子。

2. 找到一个非常值的没有最小正周期的周期函数。

下面这题改编自2.1节第9题和3.1节第10题.

3. 设函数$f:(a,+\infty)\to\mathbb{R}$在任意有限区间$(a,b)$内有界, 且

\[\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x+1)-f(x)]=A,\]

证明:

\[\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=A.\]

在3.1节第7题我们探究了Riemann函数$R(x)$的极限(虽然这不是作业), 在例3.3.2我们探究了$R(x)$的连续性. 下面这题稍微修改了一下函数$R(x)$的表达式, 看看是否真正理解了判断$R(x)$连续性的证明方法.

4. 设定义在$(0,+\infty)$上的函数

\[f(x)=\left\{\begin{aligned} &\dfrac{1}{2^n}, &&x=\dfrac{p}{2^n}, p\text{是奇数}, \\ &0, &&x\text{为其他值}. \end{aligned}\right.\]

证明: $f(x)$在$x=\dfrac{p}{2^n}(\forall n\ge 1, p\text{是奇数})$处连续, 在其余点不连续.

下面这题是2012年中国科学技术大学数学分析考研真题.

5. 设$f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)$是单调递增的函数, 如果$\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{f(2t)}{f(t)}=1$, 证明: 对任意$m>0$, 都有

\[\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{f(mt)}{f(t)}=1.\]

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