第9周随堂练习

随堂练习 qz7（判断题）： 求解二阶椭圆问题线性有限元方法的多重网格 V 循环算法的计算量是最优阶的．

答： 错误．多重网格 V 循环算法的计算量是 $O(n\log n)$，“完全多重网格方法(FMG)” 的计算量是 $O(n)$．

我看漏了“完全”二字，把这题弄错了．

第9周作业

提交截止日期：2024 年 11 月 11 日 23:55:59

HW12

（讲义第五章作业题3）

利用完全多重网格方法求解如下椭圆问题的线性有限元离散：

​\(\begin{aligned} ​ -\nabla\cdot(a\nabla u)&=1, \qquad x\in\Omega:=(-1,1)\times(-1,1), \\ ​ u&=0, \qquad x\in\partial\Omega, ​ \end{aligned}\qquad a=\left\lbrace\begin{aligned} ​ &1, &&x_1x_2>0, \\ ​ &10, &&x_1x_2\le 0. \end{aligned}\right.\)

探究不同的$l$的选取对多重网格法所求近似解的精度的影响(参见定理5.8, 与直接法的解或与$V$循环多重网格解比较即可).

HW13

（讲义第六章作业题1）

设 $\Omega=\Omega_1\setminus\Omega_0\subset\mathbb{R}^d(d=2,3)$，其中 $\Omega_0\subset\Omega_1$ 都是多面体且关于某一点 $x_0\in\Omega_0$ 都是严格的星型区域．考虑Helmholtz方程：

\[\begin{aligned} -\Delta u-k^2u&=f, \qquad x\in\Omega, \\ \dfrac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}+iku&=g, \qquad x\in\partial\Omega_1, \\ u&=0, \qquad x\in\partial\Omega_0. \end{aligned}\]

推导其稳定性估计．