第4周随堂练习

随堂练习 qz3（判断题）： 有限元的形函数必须取为多项式函数．

答： 否．形函数 (shape function) 可以是各种各样的，只要可以写成一组线性无关的函数的线性组合．比如：多尺度基函数．

第4周作业

提交截止日期：2024 年 10 月 8 日 23:55:59

HW5

设 $\Omega$ 是带 Lipschitz 边界的有界区域，$a(x),c(x)\in L^{\infty}(\Omega)$，$a(x)\ge a_0 > 0$，$c(x)\ge 0$，$f\in H^{-1}(\Omega)$．

变分问题：求 $u\in H^1(\Omega)$，$u\vert _ {\partial\Omega}=g$，使得

\[a(u,v)=\langle f,v\rangle \qquad \forall v\in H_0^1(\Omega) \tag{4.1}\]

其中双线性形式 $a$ 如下定义：

\[a(u,v)=\int_{\Omega}(a\nabla u\cdot\nabla v+cuv)\mathrm{d}x. \tag{4.2}\]

取有限维子空间 $V_h\subset H^1(\Omega)$，$g_h\in V_h\vert _ {\partial\Omega}$ 为 $g$ 的近似，则相应的 Galerkin 离散为：求 $u_h\in V_h$，$u_h \vert _ {\partial\Omega}=g_h$ 使得

\[a(u_h,v_h)=\langle f,v_h\rangle \qquad \forall v_h\in V_h\cap H_0^1(\Omega) \tag{4.3}\]

证明 引理3.9 ：设 $u$ 和 $u_h$ 分别是变分问题 $(4.1)$ 及其 Galerkin 离散 $(4.2)$ 的解．则成立如下误差估计：

\[\Vert u-u_h\Vert _ {H^1(\Omega)}\le\left(1+\dfrac{\beta}{\alpha}\right)\inf\limits_{\substack{v _ h\in V _ h \\ v _ h\vert _ {\partial\Omega}=g_h}}\Vert u-v _ h\Vert _ {H^1(\Omega)}. \tag{4.4}\]

提示：仿照书上的定理来证明．注意强制性 $a(v,v) \ge \alpha \Vert v\Vert^2$ 仅对 $v\in H _ 0^1(\Omega)$ 成立，所以需要想办法构造边界条件为 $0$ 的函数．