第3周随堂练习

随堂练习 qz2（判断题）： 对二阶椭圆问题，Robin 边界条件是自然边界条件．

答： 是．Neumann 边界条件和 Robin 边界条件都是自然边界条件．

第3周作业

提交截止日期：2024 年 9 月 29 日 23:55:59

HW4

设 $\Omega=\lbrace x:0 < x_i < T_i, 1\le i\le d\rbrace$，$f\in L^2(\Omega)$，考虑周期边界条件的 Poisson 问题的变分形式：求 $u\in H_{\mathrm{per}}^1(\Omega)$ 满足

\[\text{(VP)}\qquad \int_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla v\mathrm{d}x=\int_{\Omega}fv\mathrm{d}x, \qquad \forall v\in H_{\mathrm{per}}^1(\Omega),\]

证明 (VP) 存在弱解的充要条件是 $\int_{\Omega}f\mathrm{d}x=0$．

提示： 必要性是简单的．充分性，因为对常数 $c$，仍有 $u-c\in H_ {\mathrm{per}}^1(\Omega)$ ，可不妨设 $c=u_ {\Omega}$（积分平均），然后在下面的空间中考虑用 Lax-Milgram 定理：

\[\displaystyle V=\left\lbrace u\in H_ {\mathrm{per}}^1(\Omega): \int_ {\Omega}u\mathrm{d}x\right\rbrace=0.\]

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