第2周随堂练习

随堂练习 qz1（判断题）： 设 $\Omega$ 是二维空间中边界是 Lipschitz 的有界区域，则 $H^1(\Omega)$ 连续嵌入到 $L^{\infty}(\Omega)$．

答： 否．

设 Banach 空间 $X,Y$ 满足 $X\subset Y$．$X$ 连续嵌入到 $Y$，指的是 $\Vert u\Vert_Y\le C\Vert u\Vert_X$ 对任意 $u\in X$ 都成立．

考虑 $\Omega=\lbrace x\in\mathbb{R}^2:\vert x\vert < 1/2\rbrace$． 考虑函数 $f(x)=\ln\vert \ln\vert x\vert\vert$，则 $f\in H^1(\Omega)$，但 $f\notin L^{\infty}(\Omega)$．

但是，可以证明：如果 $1\le q < \infty$，$\Omega\subset\mathbb{R}^2$，则 $H^1(\Omega)$ 连续嵌入到 $L^q(\Omega)$．

第2周作业

提交截止日期：2024 年 9 月 29 日 23:55:59

HW3

假设 $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ 是有界的多面体区域，证明 Poincaré 不等式：

\[\Vert u-u_{\Omega}\Vert_{L^2(\Omega)}\le C\Vert\nabla u\Vert_{L^2(\Omega)}, \quad \forall u\in H^1(\Omega).\]

其中 $\displaystyle u_{\Omega}=\dfrac{1}{\vert\Omega\vert}\int_{\Omega}u(x)\mathrm{d}x$．

提示： 设

\[V=\left\lbrace v\in H^1(\Omega)\Big\vert\int_{\Omega}v=0\right\rbrace.\]

欲证结论等价于

\[\Vert v\Vert_{L^2(\Omega)}\le C\Vert\nabla v\Vert_{L^2(\Omega)}, \quad \forall v\in V.\]

然后用稠密性论证．

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